وبلاگ

۴-۳- معادلات حاکم بر سیستم

معادلات حاکم بر سیستم شامل معادلات موازنه جرم، موازنه مومنتم، موازنه انرژی و روابط مربوط به تعادل بخار-مایع هستند. در فصل قبل محاسبات تعادل بخار-مایع و معادلات محاسبه خواص سیالات چاه توضیح داده شدند. در ادامه سایر معادلات حاکم بر سیستم در مدل ارائه شده توضیح داده می­شوند.

۴-۳-۱-موازنه جرم

روند به دست آوردن معادله موازنه حاکم بر یک سیستم به طور خلاصه در زیر آمده است.

1. یک المان به عنوان نماینده سیستم انتخاب کنید.
2. بر روی المان معادله موازنه مورد نظر را بنویسید.

مقدار تجمع در سیستم = مقدار مصرف – مقدار تولید + مقدار خروجی – مقدار ورودی

1. معادله مرحله قبل را تقسیم بر حجم المان کنید.
2. از دو طرف معادله حد بگیرید و حجم المان و اختلاف زمان را به سمت صفر میل دهید.
3. از فرمول مشتق استفاده کنید و معادله را به یک معادله دیفرانسیل تبدیل کنید.
4. در صورتی که معادله کمکی وجود دارد، معادله کمکی را در معادله دیفرانسیل به دست آمده استفاده کنید.

معادله دیفرانسیلی که به این ترتیب به دست می­آید در مرحله بعد می ­تواند با به کار بردن مقدارهای مرزی و اولیه از روش تحلیلی یا عددی حل شود. با دنبال کردن روند بالا برای جریان دو فازی در چاه در حالت پایدار[۳۹] برای هر فاز یک معادله موازنه جرم به صورت زیر به دست می­آید.
(۴-۱)
(۴-۲)
معادله (۴-۱) برای فاز مایع و معادله (۴-۲) برای فاز گاز است. همان طور که در معادلات بالا قابل مشاهده است در دو معادله جمله اول سمت چپ نشان دهنده تغییر جرم به دلیل تغییر چگالی، سرعت و ترکیب فاز است. جمله دوم و سوم به ترتیب نشان دهنده جرم ورودی از مخزن و جرم ورودی از نقطه تزریق گاز است. آخرین جمله سمت راست که مربوط به آهنگ (نرخ) انتقال جرم بین فاز مایع و گاز است در دو معادله مقداری مساوی ولی با علامت مخالف دارد. معادلات برای سیستم چاه در حالت پایدار نوشته شده اند و در معادله کلی مقدار مایع و گاز ورودی از مخزن و مقدار مایع و گاز ناشی از گاز تزریقی نیز در نظر گرفته شده اند. جمله­های مربوط به جرم ورودی از مخزن فقط برای بلوک های در ارتباط با مخزن نوشته می­شوند و جملات مربوط به جرم ورودی توسط گاز تزریقی فقط برای بلوکی که گاز در آن تزریق می­ شود در نظر گرفته می­ شود.
همجنین معادله موازنه جرم برای جزء از ترکیب در مخلوط گاز و مایع به صورت زیر به دست می­آید.
(۴-۳)
در معادله (۴-۳) به دلیل این که موازنه جرم برای فاز مایع و گاز به طور همزمان نوشته شده است، جمله مربوط به انتقال جرم بین دو فاز حذف می­ شود.

۴-۳-۲-موازنه مومنتم

با به کار گیری روند شرح داده شده در قسمت قبل می­توان معادله دیفرانسیل موازنه مومنتم در سیستم را به شکل زیر به دست آورد.

در این معادله جمله سمت چپ تغییرات فشار سیستم با تغییر مکان را نشان می­دهد. جمله اول و دوم سمت راست نشان دهنده تغییرات انرژی جنبشی فاز مایع و گاز در سیستم هستند. جمله سوم انرژی جنبشی است که از طرف گاز تزریقی به سیال وارد می­ شود. این جمله فقط برای بلوکی که گاز در آن تزریق می­ شود در نظر گرفته می­ شود. جمله چهارم تغییرات فشار سیستم بر اثر وزن ستون سیال را نشان می­دهد و جمله آخر بیانگر افت فشار ناشی از اصطکاک در لوله است.
معادله به دست آمده برای موازنه مومنتم در سیستم، شکل ساده و کلی معادلاتی است که تا کنون برای محاسبه تغییرات فشار سیستم توسعه داده شده اند. در فصل دوم توضیحات کاملی در مورد این معادلات و مدل ها داده شد. در این تحقیق از سه مدل ارائه شده در مقالات برای محاسبه فشار استفاده شد. مدل اول، معادله تجربی پوتمن و کارپنتر (Poettman and Carpenter 1952) است. این معادله یکی از اولین معادلات ارائه شده برای محاسبه تغییرات فشار در خطوط لوله جریان های دو فازی است. معادله دوم، معادله تجربی هاگدورن و براون (Hagedorn and Brown 1965) است که دقیق ترین معادله تجربی و یکی از دقیق ترین معادلات محاسبه افت فشاری است که تا کنون ارائه شده اند. اخیرا مدل های جدیدی برای محاسبه افت فشار در سیستم های چند فازی ارائه شده اند که اساس آنها مکانیزم های حاکم بر این جریان هاست. به همین دلیل این مدل ها نسبت به مدل های تجربی در محدوده گسترده تری از شرایط سیستم جواب های قابل قبول دارند. در این تحقیق از مدل مکانیکی خازانوف و همکاران (Khasanov et al. 2009)که یک مدل جریان رانده است نیز به عنوان معادله محاسبه افت فشار در سیستم استفاده شده است. به این ترتیب با بهره گرفتن از مدل ارائه شده این امکان وجود دارد تا با معادلات محاسبه فشار مختلف توزیع فشار در سیستم را محاسبه کرد و با مقایسه نتایج از تأثیر نوع معادله فشار بر نتایج نهایی اطلاع یافت.

۴-۳-۳- موازنه انرژی

موازنه انرزی نیز مشابه موازنه جرم و موازنه مومنتم از روند ذک
ر شده به صورت زیر برای سیستم به دست می­آید.

در معادله موازنه انرژی جمله اول در سمت راست نشان دهنده میزان اتلاف انرژی از سیستم به محیط است. جمله دوم تغییرات آنتالپی، انرژی جنبشی و انرژی گرانشی سیال را نشان میدهد. جمله سوم معادله فقط برای بلوکی که گاز در آن تزریق می­ شود در نظر گرفته می­ شود و برای محاسبه میزان آنتالپی، انرژی جنبشی و انرژی گرانشی است که گاز ورودی به سیستم دارد. همچنین جمله چهارم میزان تغییر آنتالپی ناشی از تغییرات فاز است.
در جمله دوم، فقط تغییرات آنتالپی ناشی از تغییرات دما در نظر گرفته می­ شود. به این ترتیب تغییرات آنتالپی در این حالت از رابطه زیر محاسبه می­ شود.
(۴-۶)
از آن جا که در جریان­های چند فازی بخشی از تغییر آنتالپی به دلیل تغییر فاز است، علاوه بر جمله دوم در معادله (۴-۵) که نشانگر تغییرات آنتالپی ناشی از تغییرات دما است، جمله آخر نیز برای در نظر گرفتن تغییرات آنتالپی ناشی از تغییرات فاز به موازنه انرژی اضافه شده است. آنتالپی ناشی از تغییرات فاز در این جمله به صورت زیر محاسبه می­ شود.
(۴-۷)
در معادله (۴-۷) نشان دهنده تغییرات ضریب تراکم­پذیری جزء سیال با تغییر فاز است. نیز فشار اشباع جزء را نشان می­دهد.

۴-۴- شرایط مرزی

به منظور حل معادلات حاکم بر سیستم لازم است مقدارهای مرزی فشار، دما، دبی نفت و ترکیب سیال ورودی از مخزن مشخص باشند. در این مدل فشار و دمای مرزی، فشار و دمای ته چاه هستند. ترکیب و دبی نفت ورودی از مخزن به چاه نیز یک مقدار معلوم در نظر گرفته شده است.